Question

已知圆C：（x+2）²+（y-b）²=3（b＞0）过点（-2+

2

，0），直线l：y=x+m（m∈R）．
（1）求b的值；
（2）若直线l与圆C相切，求m的值；
（3）若直线l与圆C相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求实数m的值．

Answer 1

考点：圆的切线方程,直线与圆的位置关系

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）由题，圆C：（x+2）²+（y-b）²=3（b＞0）过点（-2+

2

，0），代入求b的值；
（2）若直线l与圆C相切，圆心C（-2，1）到直线l的距离等于圆C的半径

3

，即可求m的值；
（3）先把直线与圆的方程联立消去y，因为OM⊥ON得到x₁x₂+y₁y₂=0，然后利用根于系数的关系求出m即可．

解答： 解：（1）由题，圆C：（x+2）²+（y-b）²=3（b＞0）过点（-2+

2

，0），则
（-2+

2

+2）²+（0-b）²=3（b＞0），…（2分）
解得：b=1　　                      　…（4分）
（2）因为直线l与圆C相切，
所以圆心C（-2，1）到直线l的距离等于圆C的半径

3

即：

|-2-1+m|

2

=

3

    …（6分）
解得：m=3±

6

                …（7分）
（3）设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
由直线代入圆的方程，消去y得：2x²+2（m+1）x+m²-2m+2=0，…（8分）
所以x₁+x₂=-（m+1），x₁x₂=

m2-2m+2

2

，
因为OM⊥ON，所以x₁x₂+y₁y₂=0，
所以2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0
所以m²-3m+2=0，
解得：m=1，或m=2      …（13分）
检验可知：它们满足△＞0，
故所求m的值为1或2…（14分）

点评：此题是一道直线与圆的方程的综合题，主要考查学生对圆标准方程的认识，会利用根与系数的关系解决数学问题．