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    设关于正整数n的函数f（n）=1•22+2•32+…n（n+1）2
    （1）求f（1），f（2），f（3）；
    （2）是否存在常数a，b，c使得f（n）=数学公式对一切自然数n都成立？并证明你的结论．

    解：（1）∵f（n）=1•22+2•32+…n（n+1）2，
    ∴f（1）=1•22=4，
    f（2）=1•22+2•32=22，
    f（3）1•22+2•32+3•42=70；
    （2）假设存在常数a，b，c使得f（n）=对一切自然数n都成立，
    则f（1）=（a+b+c）=4，
    ∴a+b+c=24①，
    同理，由f（2）=22得4a+2b+c=44②，
    由f（3）=70得9a+3b+c=70③
    联立①②③，解得a=3，b=11，c=10．
    ∴f（n）=（3n2+11n+10）．
    证明：1°当n=1时，显然成立；
    2°假设n=k时，f（k）=（3k2+11k+10）=，
    则n=k+1时，f（k+1）=f（k）+（k+1）[（k+1）+1]2
    =+（k+1）[（k+1）+1]2
    =（3k2+17k+24）
    =
    =，
    即n=k+1时，结论也成立．
    综合1°，2°知，存在常数a=3，b=11，c=10使得f（n）=（3n2+11n+10）对一切自然数n都成立．
    分析：（1）由f（n）=1•22+2•32+…n（n+1）2即可求得f（1），f（2），f（3）；
    （2）假设存在常数a，b，c使得f（n）=对一切自然数n都成立，由f（1），f（2），f（3）的值可求得a，b，c；再用数学归纳法证明即可．
    点评：本题考查数学归纳法，求得a，b，c的值是关键，考查分析、运算及推理证明的能力，属于难题．
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