Question

若点 (p , q )在，  中按均匀分布出现。

(1)求方程有两个实数根的概率；

(2) 若，p,q∈Z，试求方程

当时恰有两个实根的概率。

Answer 1

解：(1)  ，表示一个正方形区域，易得其面积为36  ………（1分）

若方程有两个实数根，则有，即

  (注：若无等号扣1分)

解得表示正方形中圆以外的区域，其面积为36-，………………………（3分）

即方程有两个实数根的概率为  ……………………（4分）

要使得原方程有两个实根，则与的图像有且仅有2个交点，

所以=0或>1

又有 – 2.5 < p < - 0.5，所以p = -2 或 p = -1

(i)              若=0，则,所以

即解得q= 1或q = -2，故符合方程有两个实根的情况有

（-2 ，1）， （-2 ， -2 ）， （ -1 ， 1），（-1 ， -2）

共4种情况 。

(ii)若>1，则，所以

   即，∴q= -1 或q = 0，故符合方程有两个实根的情况

（-2 ，-1）， （-2 ， 0 ）， （ -1 ， -1），（-1 ， 0）

有共4种情况；  

   综上所述，符合方程有两个实根的情况共有8种， 

所以方程恰有两个实根的概率                  

答：此方程恰有两个实根的概率为