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(本题满分12分)已知棱长为的正方体中,M,N分别是棱CD,AD的中点。(1)求证:四边形是梯形;(2)求证:
见解析。

试题分析:(1)结合三角形的中位线的性质得到MN=AC,以及MN∥A1C1得到证明。
(2)由(1)可知MN∥A1C1,又∵ND∥A1D1,根据等角定理得到结论。
证明:(1)连接AC,在△ACD中,
∵M,N分别是棱CD,AD的中点,
∴MN是三角形的中位线,
∴MN∥AC,MN=AC。由正方体的性质得:AC∥A1C1,AC=A1C1
∴MN∥A1C1,且MN= A1C1,即MN≠A1C1,∴四边形MN A1C1是梯形。
(2)由(1)可知MN∥A1C1,又∵ND∥A1D1
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补,而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角,
∴∠DNM=∠D1A1C1
点评:解决该试题的关键是能通过正方体的性质得到梯形的形状的判定,以及运用等角定理来得到角的相等的证明。
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