Question

（2011•上海模拟）如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的对应过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上（线段AB）的点M（如图1）；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合（如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上；点A的坐标为（0，1）（如图3），当点M从A到B是逆时针运动时，图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），按此对应法则确定的函数使得m与n对应，即
f（m）=n．

对于这个函数y=f（x），有下列命题：
①f(

1

4

)=-1；  ②f（x）的图象关于(

1

2

，0)对称；  ③若f(x)=

3

，则x=

5

6

；  ④f（x）在（0，1）上单调递增．
其中正确的命题个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由题中对映射运算描述，对四个命题逐一判断其真伪，①因为M在以（1，1-

1

2π

）为圆心，（1-

1

2π

）为半径的圆上运动，当m=

1

4

时，点N的坐标为（-1，0），故f（

1

4

）=-1；②可由图3中圆关于Y轴的对称判断出正误；③由f(x)=

3

，得到∠ANO=30°，∠OAN=60°，由此求出x；④可由图3得到M的运动规律观察出函数值的变化，得出单调性．

解答：解：如图，因为M在以（1，1-

1

2π

）为圆心，（1-

1

2π

）为半径的圆上运动，
对于①当m=

1

4

．M的坐标为（-

1

2π

，1-

1

2π

），直线AM方程y=x+1，所以点N的坐标为（-1，0），故f（

1

4

）=-1，故①正确．
②是正确命题，由图3可以看出，当M点的位置离中间位置相等时，N点关于Y轴对称，即此时函数值互为相反数，故可知f（x）的图象关于点 (

1

2

，0)对称．
③是正确命题．∵f(x)=

3

，
∴∠ANO=30°，∴∠OAN=60°，
∴x=

5

6

．
④是正确命题，由图3可以看出，m由0增大到1时，M由A运动到B，此时N由x的负半轴向正半轴运动，由此知，N点的横坐标逐渐变大，故f（x）在定义域上单调递增是正确的；
综上知，①③④是正确命题，
故选D．

点评：本题考查映射的概念，解答本题关键是理解题设中所给的对应关系，正确认识三个图象的意义，由此对四个命题的正误作出判断，本题题型新颖，寓数于形，是一个考查理解能力的题，对题设中所给的关系进行探究，方可得出正确答案，本题易因为理解不了题意而导致无法下手，较抽象，是难题．