Question

【题目】四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，又PA=PD，∠APD=60°，E，G分别是BC，PE的中点

（1）求证：AD⊥PE
（2）求二面角E﹣AD﹣G的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，取AD中点O，连结OP，OE，

∵PA=PD，∴OP⊥AD，

又E是BC的中点，∴OE∥AB，∴OE⊥AD，

又OP∩OE=O，∴AD⊥平面OPE，

∵PE平面OPE，∴AD⊥PE．

（2）解：取OE的中点F，连结FG、OG，则由（1）知AD⊥OG，

又OE⊥AD，∴∠GOE是二面角E﹣AD﹣G的平面角，

∵PA=PD，∠APD=60°，

∴△APD为等边三角形，且边长为2，

∴OP= ×2= ，FG= ，OF= =1，

∴OG= ，∴cos ．

∴二面角E﹣AD﹣G的余弦值为 ．

【解析】（1）取AD中点O，连结OP，OE，推导出OP⊥AD，OE⊥AD，由此能证明AD⊥PE．（2）取OE的中点F，连结FG、OG，则AD⊥OG，OE⊥AD，从而∠GOE是二面角E﹣AD﹣G的平面角，由此能求出二面角E﹣AD﹣G的余弦值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解空间中直线与直线之间的位置关系(相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点)．