Question

【题目】如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C．为方便游客光，拟过曲线C上的某点分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的直角坐标系xoy，则曲线符合函数y=x+ （1≤x≤9）模型，设PM=x，修建两条道路PM，PN的总造价为f（x）万元，题中所涉及的长度单位均为百米．

（1）求f（x）解析式；
（2）当x为多少时，总造价f（x）最低？并求出最低造价．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为 ，

所以点P坐标为 ，

直线OB的方程为x﹣y=0，

则点P到直线x﹣y=0的距离为 ，

又PM的造价为5万元/百米，PN的造价为40万元/百米．

则两条道路总造价为

（2）

解：因为 ，

所以 ，

令f'（x）=0，得x=4，列表如下：

x	（1，4）	4	（4，9）
f'（x）	﹣	0	﹣
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

所以当x=4时，函数f（x）有最小值，最小值为 ．

答：（1）两条道路PM，PN总造价f（x）为 （1≤x≤9）；

（2）当x=4时，总造价最低，最低造价为30万元．

（注：利用三次均值不等式 ，

当且仅当 ，即x=4时等号成立，照样给分．）

【解析】（1）求出P的坐标，直线OB的方程，点P到直线x﹣y=0的距离，即可求f（x）解析式；（2）利用导数的方法最低造价．