Question

（08年湖北卷文）（本小题满分12分）

   如图，在直三棱柱中，平面侧面

  （Ⅰ）求证：

  （Ⅱ）若，直线AC与平面所成的角为，二面角

Answer 1

(Ⅰ)证明：如图，过点A在平面A₁ABB₁内作AD⊥A₁B于D，则

由平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁,且平面A₁BC∩侧面A₁ABB₁＝A₁B，

得AD⊥平面

A₁BC.又BC平面A₁BC

所以AD⊥BC.

因为三棱柱ABC－A₁B₁C₁是直三棱柱,

则AA₁⊥底面ABC,所以AA₁⊥BC.

又AA₁∩AD=A,从而BC⊥侧面A₁ABB₁,

又AB侧面A₁ABB₁，

故AB⊥BC.

 

(Ⅱ)证法1：连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A₁BC所成的角，∠ABA₁就是二面角A₁－BC－A的颊角，即∠ACD＝θ，∠ABA₁=.

      于是在RtΔADC中，sinθ=,在RtΔADA₁中，sin∠AA₁D＝,

      ∴sinθ=sin∠AA₁D,由于θ与∠AA₁D都是锐角，所以θ＝∠AA₁D.

      又由RtΔA₁AB知，∠AA₁D＋＝∠AA₁B＋＝，故θ＋＝.

    

 证法2：由(Ⅰ)知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB₁所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设AB=c（c＜a＝，则B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(),

A₁(0,c,a)，于是，＝（0，c,a）,

c,a

设平面A₁BC的一个法向量为n=(x,y,z),

则由

可取n＝（0，－a，c），于是

n?=ac＞0，与n的夹角为锐角,则与互为余角

sin=cos=,

cos=

所以sin=cos=sin(),又0＜，＜，所以+=.

【试题解析】第（1）问证明线线垂直，一般先证线面垂直，再由线面垂直得线线垂直；第（2）问若用传统方法一般来说要先作垂直，进而得直角三角形。若用向量方法，关键在求法向量。

【高考考点】本题主要考查直棱柱、直线与平面所成的角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力。

【易错提醒】要牢记面面角，线面角的范围，特别是用向量法求二面角的时候要注意所要求的角与向量夹角的关系。

【备考提示】立体几何中的垂直、平行，角与距离是高中数学的重要内容，应该熟练掌握。