Question

（08年湖北卷文）（本小题满分13分）

   已知双同线的两个焦点为

   的曲线C上.

  （Ⅰ）求双曲线C的方程；

  （Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程

Answer 1

(Ⅰ)解法1：依题意，由a²+b²=4，得双曲线方程为（0＜a²＜4＝，

将点（3，）代入上式，得.解得a²=18（舍去）或a²＝2，

故所求双曲线方程为

解法2：依题意得，双曲线的半焦距c=2.

2a=|PF₁|－|PF₂|=

∴a²=2，b²=c²－a²=2.

∴双曲线C的方程为

(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，

得(1－k²)x²－4kx－6=0.

∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,

∴

∴k∈(－)∪(1,).

设E(x₁,y₁),F(x₂,y₂)，则由①式得x₁+x₂=于是

|EF|=

=

而原点O到直线l的距离d＝,

∴S_ΔOEF=

若S_ΔOEF＝，即解得k=±,

满足②.故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和

解法2：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理，

 

得(1－k²)x²－4kx－6＝0.                                    ①

∵直线l与比曲线C相交于不同的两点E、F，

∴

∴k∈(－)∪(1,).                            ②

设E(x₁,y₁),F(x₂,y₂)，则由①式得

|x₁－x₂|＝.  ③

当E、F在同一支上时（如图1所示），

S_ΔOEF＝|S_ΔOQF－S_ΔOQE|=；

当E、F在不同支上时（如图2所示），

S_ΔOEF＝S_ΔOQF＋S_ΔOQE＝

综上得S_ΔOEF＝，于是

由|OQ|＝2及③式，得S_ΔOEF＝.

若S_ΔOEF＝2，即,解得k=±,满足②.

故满足条件的直线l有两条，基方程分别为y=和y=

【试题解析】第（1）问只要求求了出双曲线方程中的与。第（2）涉及到直线与圆锥曲线相交的问题，一般是要设出直线联立曲线，再用韦达定理，本问要解法的是求范围的问题，其不等式在第（2）问中已给出，所以只需写出三角形面积的表达式。

【高考考点】本题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基础知识，考查待写系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力.

【易错提醒】直线与双曲线有两个交点时，在联立后的一元二次方程的二次项系数不能为零。

【备考提示】要牢记圆锥曲线的定义，并会灵活运用。