Question

如图5所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，平面.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若，，求二面角的正切值.

Answer 1

解析：（Ⅰ）因为平面，平面，所以.又因为平面，平面，所以.而，平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面，而平面，所以，而为矩形，所以为正方形，于是.

法1：以点为原点，、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.则、、、，于是，.设平面的一个法向量为，则，从而，令，得.而平面的一个法向量为.所以二面角的余弦值为，于是二面角的正切值为3.

法2：设与交于点，连接.因为平面，平面，平面，所以，，于是就是二面角的平面角.又因为平面，平面，所以是直角三角形.由∽可得，而，所以，，而，所以，于是，而，于是二面角的正切值为.