Question

在直角坐标系xOy中，若角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：y=2x（x≤0）．
（Ⅰ）求tan2α的值；
（Ⅱ）求

2cos2 α 2 -2sin(α-π)-1

2 cos(α- 7π 4 )

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在终边l上取一点P的坐标，根据tanα等于P的纵坐标除以横坐标求出值，然后把tan2α利用二倍角的正切函数公式化简后，将tanα的值代入即可求出；
（Ⅱ）把原式的分子第一项和第三项结合利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项根据正弦函数为奇函数及诱导公式化简；把分母根据余弦函数为偶函数及诱导公式化简，再给分子分母都除以cosα得到一个关于tanα的关系式，把tanα=2代入即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）在终边l上取一点P（-1，-2），则tanα=

-2

-1

=2，
∴tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2×2

1-22

=-

4

3

；
（Ⅱ）因为tanα=2，则

2cos2 α 2 -2sin(α-π)-1

2 cos(α- 7π 4 )

=

(2cos2 α 2 -1)+2sin(π-α)

2 cos[2π-(α+ π 4 )]

=

cosα+2sinα

2 cos(α+ π 4 )

=

cosα+2sinα

2 ( 2 2 cosα- 2 2 sinα)

=

cosα+2sinα

cosα-sinα

=

1+2tanα

1-tanα

=

1+2×2

1-2

=-5．

点评：考查学生灵活运用诱导公式及二倍角的余弦、正切函数公式化简求值，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值．理解象限角及终边相同的角的意义．