Question

已知△ABC的面积满足

3

≤S≤3，且

AB

•

BC

=6，
（Ⅰ）求f（B）=sin²B+2sinB•cosB+3cos²B的值域；
（Ⅱ）若

p

=(sinA，cosA)，

q

=(cosC，sinC)，求|2

p

-3

q

|的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由三角形面积和数量积公式，联解可得tanB=-

S

3

，结合

3

≤S≤3得tanB∈[-1，-

3

3

]，从而

3π

4

≤B≤

5π

6

，再化简函数f（B）=2+

2

sin（2B+

π

4

），结合三角函数的图象与性质，可得函数f（B）的值域；
（II）由已知得向量

p

、

q

都是单位向量，将|2

p

-3

q

|平方化简得|2

p

-3

q

|2=13-12sinB，结合角B的取值范围则不难得到|2

p

-3

q

|2的取值范围，进而可得到|2

p

-3

q

|的取值范围．

解答：解（I）由S=

1

2

acsinB，得2S=acsinB
因为

AB

•

BC

=-accosB=6，所以-6=accosB
∴tanB=

acsinB

accosB

=

2S

-6

=-

S

3

，
结合

3

≤S≤3，得-1≤tanB≤-

3

3

，
由角B为三角形内角可知，

3π

4

≤B≤

5π

6

…（2分）．
∵f（B）=sin²B+2sinB•cosB+3cos²B=1+sin2B+1+cos2B=2+

2

sin(2B+

π

4

)…（4分）
∵

7π

4

≤2B+

π

4

≤

23π

12

，函数f（B）在区间[

3π

4

，

5π

6

]上为增函数
∴当B=

3π

4

时，函数有最小值为2+

2

sin

7π

4

=1；当B=

5π

6

时，函数有最大值为2+

2

sin

23π

12

=

5- 3

2

由此可得f(x)∈[1，

5- 3

2

]…（6分）．
（II）由

p

=(sinA，cosA)，

q

=(cosC，sinC)可知：|

p

|=1，|

q

|=1．…（8分）．
∵A+B+C=π，∴A+C=π-B，得sin（A+C）=sinB
因此，|2

p

-3

q

|2=4

p

2+9

q

2-12

p

•

q

=13-12(sinAcosC+cosAsinC)=13-12sinB…（10分）
∵

3π

4

≤B≤

5π

6

，∴sinB∈[

1

2

，

2

2

]
由此可得：13-6

2

≤|2

p

-3

q

|2≤7，得到|2

p

-3

q

|∈[

13-6 2

，

7

]…（12分）．

点评：本题以平面向量的数量积运算为载体，求关于B的函数的值域和向量模长的取值范围，着重考查了平面向量数量积的运算公式、两角和与差的正弦函数和向量的模公式等知识，属于中档题．