Question

在区间[-2，3]上任取一个实数a，则使直线ax+y+1=0截圆O：x²+y²=1所得弦长d∈[

2

，

4 5

5

]的概率是

2

5

．

Answer 1

分析：由给出的弦长范围，求出圆心到直线ax+y+1=0的距离的范围，再由点到直线的距离公式写出圆心到直线的距离，列式求出a的范围，然后用长度比求概率．

解答：解：直线ax+y+1=0截圆O：x²+y²=1所得弦长d=AB∈[

2

，

4 5

5

]，
则半弦长BC∈[

2

2

，

2 5

5

]，因为圆的半径等于1，所以圆心到直线ax+y+1=0的距离OC∈[

5

5

，

2

2

]，
由

5

5

≤

1

a2+1

≤

2

2

，得：-2≤a≤-1或1≤a≤2．
又a∈[-2，3]，所以，在区间[-2，3]上任取一个实数a，则使直线ax+y+1=0截圆O：x²+y²=1所得弦长d∈[

2

，

4 5

5

]的概率是

[-1-(-2)]+(2-1)

3-(-2)

=

2

5

．
故答案为

2

5

．

点评：本题考查了几何概型，考查了点到直线的距离公式，解答此题的关键是明确测度比为线段长度比，此题是中档题．