Question

5．求两圆C₁：x²+y²=9与C₂：（x-6）²+y²=1的外公切线的直线方程与外公切线的长．

Answer 1

分析 设出两圆的外公切线与x轴的交点坐标，由三角形相似求得交点坐标，设出切线方程，由原点到切线的距离等于半径求得切线斜率，可求外公切线的直线方程．根据外公切线长=$\sqrt{{d}^{2}-（R-r）^{2}}$，可得结论．

解答 解：设两圆的公切线交x轴于（t，0），
则$\frac{t-6}{t}$=$\frac{1}{3}$，解得：t=9，
设两圆的公切线方程为y=k（x-9），即kx-y-9k=0．
由$\frac{|-9k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，解得：k=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴两圆C₁：x²+y²=9与C₂：（x-6）²+y²=1的外公切线方程是y=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$（x-9）．
两圆C₁：x²+y²=9的圆心为（0，0），半径为3，C₂：（x-6）²+y²=1的圆心为（6，0），半径为1，
∴外公切线的长=$\sqrt{{6}^{2}-（3-1）^{2}}$=4$\sqrt{2}$．

点评 本题题考查了两圆的外公切线方程，考查了点到直线的距离，是中档题．