Question

（1）若|a|＜1，|b|＜1，比较|a+b|+|a-b|与2的大小，并说明理由；
（2）设m是|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|＞m时，求证：|

a

x

+

b

x2

|＜2.

Answer 1

分析：（1）由题设条件知，利用不等式的性质不易找到证明的方法，故根据其不为负的情况对其进行平方，让其与4来进行比较．
（2）对不等式的左边用不等式的性质放大，再由m是|a|，|b|和1中最大的一个，|x|＞m再一次放大，证出放大的表达式的值小于2，由不等号的传递性知可得结论．

解答：解：（1）|a|＜1，|b|＜1，有|a+b|+|a-b|＜2，证明如下
∵（|a+b|+|a-b|）²=2（a²+b²）+2|a²-b²||a|＜1，|b|＜1，
当|a|≤|b|时，即a²≤b²，有∵（|a+b|+|a-b|）²=4b²＜4，即|a+b|+|a-b|＜2
当|a|≥|b|时，即a²≥b²，有∵（|a+b|+|a-b|）²=4a²＜4，即|a+b|+|a-b|＜2
综上知|a|＜1，|b|＜1，|a+b|+|a-b|≤2
（2）因为|x|＞m≥|b|且|x|＞m≥1，所以|x²|＞|b|．
又因为|x|＞m≥|a|，所以|

a

x

+

b

x2

|≤|

a

x

|+|

b

x2

|＜

|a|

|x|

+

|b|

|x|2

＜

|x|

|x|

+

|x|2

|x|2

=2，
故原不等式成立．

点评：本题考查不等式的证明，证明不等式的方法很多，主要有作差法，放缩法．本题在证明过程中用到了放缩法，在每一小题的证明中由a，b大小的不确定又用到了分类讨论．