Question

（2013•盐城二模）设函数fn(x)=-xn+3ax+b（n∈N^*，a，b∈R）．
（1）若a=b=1，求f₃（x）在[0，2]上的最大值和最小值；
（2）若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f₃（x₁）-f₃（x₂）|≤1，求a的取值范围；
（3）若|f₄（x）|在[-1，1]上的最大值为

1

2

，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）把a，b的值代入函数解析式求出f3(x)=-x3+3x+1，求导后利用导函数的零点将（0，2）分段，由单调性判出极值点，求出极值，再求出端点值，则f₃（x）在[0，2]上的最大值和最小值可求；
（2）根据对任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f₃（x₁）-f₃（x₂）|≤1，说明当x取两个特殊值-1和1时|f₃（1）-f₃（-1）|≤1成立，由此求出a的初步范围，然后把原函数f₃（x）求导，得到导函数的两个零点为-

a

，

a

，再求出函数f₃（x）在（-1，1）上的极大值和极小值，再由极大值和极小值差的绝对值小于等于1求出a的取值范围，和由|f₃（1）-f₃（-1）|≤1求出的a的范围取交集即可；
（3）由|f₄（x）|在[-1，1]上的最大值为

1

2

，则x取-1和1时的函数值都在-

1

2

和

1

2

之间，联立解出b的范围，再由x取0时的函数值也在-

1

2

和

1

2

之间，得到b的范围，两者结合即可求出b的值，把b的值代入x取-1和1时的式子，即可得到a的值．

解答：解：（1）由fn(x)=-xn+3ax+b，所以当a=b=1时，f3(x)=-x3+3x+1
则

f

′ 3

(x)=-3x2+3=-3（x²-1）．
在（0，1）内，

f

′ 3

(x)＞0，在（1，2）内，

f

′ 3

(x)＜0，
所以在（0，1）内，f3(x)=-x3+3x+1为增函数，在（1，2）内f3(x)=-x3+3x+1为减函数．
则f₃（x）的极大值为f₃（1）=3，由f₃（0）=1，f3(2)=-23+3×2+1=-1．
所以函数f3(x)=-x3+3x+1在[0，2]上的最大值为f₃（1）=3，最小值为f₃（2）=-1；
（2）因为对任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f₃（x₁）-f₃（x₂）|≤1，
所以|f₃（1）-f₃（-1）|≤1，从而有|（-1+3a+b）-（1-3a+b）|=|6a-2|≤1，
所以

1

6

≤a≤

1

2

．
又

f

′ 3

(x)=-3x2+3a=-3（x²-a），
在[-1，-

a

]，[

a

，1]内f′₃（x）＜0，
所以f₃（x）在[-1，-

a

]，[

a

，1]内为减函数，
f₃（x）在[-

a

，

a

]内为增函数，
只需|f3(

a

)-f3(-

a

)|≤1，则|(-(

a

)3+3a

a

+b)-((

a

)3-3a

a

+b)|≤1
即4a

a

≤1，解得：a≤

1

3 16

．
所以a的取值范围是

1

6

≤a≤

1

3 16

．
（3）f4(x)=-x4+3ax+b．
由f₄（x）在[-1，1]上的最大值为

1

2

，则|f4(x)|≤

1

2

，
所以-

1

2

≤f4(1)≤

1

2

，即-

1

2

≤-1+3a+b≤

1

2

①
-

1

2

≤f4(-1)≤

1

2

，即-

1

2

≤-1-3a+b≤

1

2

②
①+②得，

1

2

≤b≤

3

2

，又因为-

1

2

≤f4(0)≤

1

2

，所以-

1

2

≤b≤

1

2

，所以b=

1

2

．
将b=

1

2

代入①得：0≤a≤

1

3

，
将b=

1

2

代入②得：-

1

6

≤a≤0．
所以a=0．
综上知a，b的值分别为0，

1

2

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的最值，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是特值化思想的应用，求具体参数的值时运用了“两边夹”的思想方法，属有一定难度题．