Question

已知圆x²+y²+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则m的值为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：将直线和圆进行联立，利用根与系数之间的关系建立条件方程，利用韦达定理、两个向量垂直的性质，即可求出m的值．

解答： 解：由题意设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则由方程组

x+2y-3=0 x2+y2+x-6y+m=0

 求得消y得5x²+10x+4m-27=0，
于是根据韦达定理得，x₁+x₂=-2，x₁•x₂=

4m-27

5

．
∴y₁•y₂=

3-x1

2

•

3-x2

2

=

1

4

[9-3（x₁+x₂）+x₁•x₂]=

1

4

[9+6+

4m-27

5

]=

m+12

5

．
再根据OP⊥OQ，可得

OP

•

OQ

=x₁•x₂+y₁•y₂=

4m-27

5

+

m+12

5

=0，求得m=3，
故答案为：3．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．