Question

已知函数f(x)=x+

a

x

(a＞0)．（1）若不等式f（x）＜b的解集是（1，3），求不等式ax²-bx+1＜0的解集；（2）若f（1）=f（2），证明f（x）在（0，

2

]上是单调递减函数．

Answer 1

分析：（1）由不等式f（x）＜b的解集是（1，3）即x+

a

x

＜b的解集为（1，3）可知x=1，x=3是x+

a

x

=b  的根，从而可求a，b，进而可求不等式ax²-bx+1＜0的解集
（2）由f（1）=f（2）可求a，利用函数单调性的定义可证明

解答：解：（1）∵不等式f（x）＜b的解集是（1，3）即x+

a

x

＜b的解集为（1，3）
∴x=1，x=3是x+

a

x

=b  的根，
∴a=3，b=4
∴ax²-bx+1=3x²-4x+1＜0的解集为{x|

1

3

＜x＜1}
（2）由f（1）=f（2）可得，1+a=2+

a

2

∴a=2，f（x）=x+

2

x

设0＜x₁＜x₂≤

2

则f（x₁）-f（x₂）=x1+

2

x1

-x2-

2

x2

=（x₁-x₂）+

2(x2-x1)

x1x2

=

(x1-x2)(x1x2-2)

x1x2

∵0＜x₁＜x₂≤

2

∴x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，x₁x₂-2＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）=x+

2

x

在（0，

2

]单调递减

点评：本题主要考查了二次不等式与二次方程的关系的应用，及利用定义判断函数的单调性，属于函数性质的应用．