Question

求同时满足下列条件的所有复数z：(1)是实数，且。
(2)z的实部和虚部都是整数。

Answer 1

复数z为：1±3i或3±i.

设z=a+bi (a,b∈R,且a²+b²≠0).
则

由(1)知是实数，且,
∴  即b=0或a²+b²=10.
又   *
当b=0时，*化为无解。
当a²+b²=10时，*化为1<2a≤6, ∴.
由(2)知 a=1,2,3.
∴ 相应的b=±3, ±(舍)，±1，
因此，复数z为：1±3i或3±i.
此题不仅考查了复数的概念、运算等，同时也考查到了方程、不等式的解法。