Question

已知∠A，∠B，∠C为△ABC的内角，向量

m

=（sinA，cosA），

n

=（

3

，1）且

m

•

n

=1
（1）求∠A的大小；
（2）求sinB+sinC的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由

m

•

n

=1求得sin（A+

π

6

 ）=

1

2

，根据 

π

6

＜A+

π

6

＜

7π

6

，可得 A+

π

6

=

5π

6

，从而得到 A 值．
（2）由sinB+sinC=sin（B+

π

3

 ） 及

π

3

＜B+

π

3

＜

2π

3

，可得

3

2

＜sin（B+

π

3

 ）≤1，从而得到 sinB+sinC的取值范围．

解答：解：（1）

m

•

n

=

3

sinA+cosA=2sin（A+

π

6

 ）=1，∴sin（A+

π

6

 ）=

1

2

．   
∵0＜A＜π，∴

π

6

＜A+

π

6

＜

7π

6

，∴A+

π

6

=

5π

6

，∴A=

2π

3

．
（2）求sinB+sinC=sinB+sin（

π

3

-B）=

3

2

cosB+

1

2

 sinB=sin（B+

π

3

 ）．
∵0＜B＜

π

3

，∴

π

3

＜B+

π

3

＜

2π

3

，∴

3

2

＜sin（B+

π

3

 ）≤1，
∴

3

2

＜sinB+sinC≤1．

点评：本题考查两角和的正弦公式的应用，两个向量的数量积公式，正弦函数的值域，根据三角函数的值求角．
求正弦函数的值域是解题的难点．