Question

6．定义在R上的函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（x=0）}\\{lg|x|（x≠0）}\end{array}\right.$，若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有三个不同的实数解x₁，x₂，x₃，则x₁²+x₂²+x₃²=20．

Answer 1

分析 设t=f（x），作出函数f（x）的图象，根据关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有3个不同的实数解x₁，x₂，x₃，得到t的取值情况即可求出结论．

解答 解：设t=f（x），则关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0等价为t²+bt+c=0，
作出f（x）的图象如图：
由图象可知当t=$\frac{1}{2}$时，方程f（x）=$\frac{1}{2}$有三个根，当t≠$\frac{1}{2}$时方程f（x）=t有两个不同的实根，
∴若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有3个不同的实数解x₁，x₂，x₃，
则等价为t²+bt+c=0只有一个根t=$\frac{1}{2}$，
由f（x）=$\frac{1}{2}$得，x=0，或者lg|x|=$\frac{1}{2}$，
即得x=±10${\;}^{\frac{1}{2}}$=±$\sqrt{10}$，
即三个根x₁，x₂，x₃，分别为0，$\sqrt{10}$或-$\sqrt{10}$，
∴x₁²+x₂²+x₃²═0+10+10=20．
故答案为：20．

点评 本题主要考查方程根的个数的应用，利用换元法将方程转化为二次方程，根据二次方程根的分布是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本思想．