Question

16．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{2}x|，0＜x≤2}\\{2-lo{g}_{2}x，x＞2}\end{array}\right.$若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则ab+bc+ca的取值范围是（　　）

• A． （1，4）
• B． （2，4）
• C． （6，9）
• D． （7，9）

Answer 1

分析 画出函数f（x）的图象，设a＜b＜c，可得0＜a＜1＜b＜2＜c＜4，再由条件去掉绝对值，运用对数的运算性质，可得ab=1，bc=4，log₂a=log₂c-2，即有ab+bc+ac=ac+5，求得log₂（ac）的范围，即可得到所求范围．

解答 解：画出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{2}x|，0＜x≤2}\\{2-lo{g}_{2}x，x＞2}\end{array}\right.$的图象，
设a＜b＜c，可得0＜a＜1＜b＜2＜c＜4，
由f（a）=f（b）=f（c），
可得|log₂a|=|log₂b|=2-log₂c，
即为-log₂a=log₂b=2-log₂c，
即log₂a+log₂b=0，log₂b+log₂c=2，log₂a=log₂c-2，
即有ab=1，bc=4，
则ab+bc+ca=1+4+ac=ac+5，
由于log₂（ac）=log₂a+log₂c=2log₂c-2，
由2＜c＜4，可得0＜2log₂c-2＜2，
即有1＜ac＜4，即6＜ac+5＜9．
故选C．

点评 本题考查分段函数的运用，考查对数函数的图象和运用，注意运用数形结合的思想方法和对数函数的单调性和运算性质，属于中档题．