Question

7．如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且SA=AB=2．
（Ⅰ）若E是AB中点，F是SC的中点，求证：EF∥面SAD；
（Ⅱ）求四棱锥S-ABCD的侧面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要证EF∥面SAD，只要证明EF平行于面内的一条直线；
（Ⅱ）关键是分别求出平面SBC，SCD的面积；首先要判断它们各自的形状．

解答 （Ⅰ）证明：因为E是AB中点，F是SC的中点，过F作FG∥CD，
则G是SD的中点，（1分）
又因为$AE\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}DC$，所以$FG\underline{\underline{∥}}AE$．（2分）
所以四边形AEFG是平行四边形，所以EF∥AG，（3分）
又因为EF?面SAD，AG?面SAD，所以EF∥平面SAD．（4分）
（Ⅱ）解：因为SA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，
所以BC⊥AB，BC⊥SA
且AB∩SA=A，所以BC⊥平面SAB．（8分）
又因为SB?平面SAB，所以BC⊥SB．所以△SBC是直角三角形．（9分）
SB=$\sqrt{S{A}^{2}+A{B}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，所以${S_{Rt△SBC}}=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$．（10分）
同理可得${S_{Rt△SDC}}=2\sqrt{2}$．（11分）又S_△SAD=S_△SAB=2，
所以四棱锥S-ABCD的侧面积是4+4$\sqrt{2}$．（12分）

点评 本题考查了空间线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理的运用；关键是将线面关系转化为线线关系．