Question

19．某工厂对某种产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：

产量x（千件）	2	3	5	6
成本y（万元）	7	8	9	12

经过分析，知道产量x和成本y之间具有线性相关关系．
（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\hat y=\hat bx+\hat a$；
（Ⅱ）试根据（1）求出的线性回归方程，预测产量为10千件时的成本．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由表中的数据分别计算$\overline{x}$，$\overline{y}$，$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i，$\sum_{i=1}^{4}$${{x}_{i}}^{2}$，$\stackrel{∧}{b}$，$\stackrel{∧}{a}$，即可写出线性回归方程；
（Ⅱ）由线性回归方程，计算x=10时，$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（Ⅰ）由表中的数据得$\overline{x}=\frac{2+3+5+6}{4}=4$，（1分）
$\overline{y}=\frac{7+8+9+12}{4}=9$，（2分）
$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}}=2×7+3×8+5×9+6×12=155$，（3分）
$\sum_{i=1}^4{x_i^2}={2^2}+{3^2}+{5^2}+{6^2}=74$，（4分）
$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}}-4\bar x\bar y}}{{\sum_{i=1}^4{x_i^2-4{{\bar x}^2}}}}=\frac{155-4×4×9}{{74-4×{4^2}}}=\frac{11}{10}=1.1$，（6分）
$\hat a=\bar y-\hat b\overline{x}=9-1.1×4=4.6$，（7分）
所以所求线性回归方程为$\hat y=1.1x+4.6$；（8分）
（Ⅱ）由（1）得，当x=10时，$\hat y=1.1×10+4.6=15.6$，
即产量为10千件时，成本约为15.6万元． （10分）

点评 本题考查了求线性回归方程的应用问题，也考查了利用线性回归方程预测生产问题，是基础题目．