Question

14．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，满足f（0）=2，f（x+1）-f（x）=2x-1．
（Ⅰ） 求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ） 若关于x的不等式f（x）-t＞0在[-1，2]上有解，求实数t的取值范围；
（Ⅲ） 若函数g（x）=f（x）-mx的两个零点分别在区间（-1，2）和（2，4）内，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过f（0）=2，求出c，利用f（x+1）-f（x）=2x-1，求出a，b，得到函数的解析式．
（Ⅱ）求出函数f（x）的对称轴，然后求解f_max（x），列出关系式即可求解实数t的取值范围为（-∞，5）．
（Ⅲ）g（x）=x²-（2+m）x+2，若g（x）的两个零点分别在区间（-1，2）和（2，4）内，利用零点存在定理列出不等式组求解即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由f（0）=2，得c=2，…（1分）
又f（x+1）-f（x）=2x-1，得2ax+a+b=2x-1，…（2分）
故$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=-1}\end{array}\right.$，解得：a=1，b=-2，…（3分）
所以f（x）=x²-2x+2．…（4分）
（Ⅱ）f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，对称轴为x=1∈[-1，2]，…（5分）
又f（-1）=5，f（2）=2，所以f_max（x）=f（-1）=5．   …（6分）
关于x的不等式f（x）-t＞0在[-1，2]有解，则t＜f（x）_max=5，
所以实数t的取值范围为（-∞，5）． …（8分）
（Ⅲ）g（x）=x²-（2+m）x+2，若g（x）的两个零点分别在区间（-1，2）和（2，4）内，
则满足$\left\{{\begin{array}{l}{g（-1）＞0}\\{g（2）＜0}\\{g（4）＞0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{5+m＞0}\\{2-2m＜0}\\{10-4m＞0}\end{array}}\right.$…（11分）
解得：$1＜m＜\frac{5}{2}$，所以实数m的取值范围为$（{1，\frac{5}{2}}）$． …（12分）

点评 本题考查二次函数的最值的求法，零点存在定理的应用，考查分析问题解决问题的能力．