Question

如图：PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，PD=CD=2AD=2AB=2，EC=2PE．
（Ⅰ）求证：PA∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：平面BDP⊥平面PBC；
（Ⅲ）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要证明线面平行，关键是在平面内找到一条可能与已知直线平行的直线，观察到平面BDE中三条已知直线与AE都不平行，故我们要考虑在平面BDE中做一条与PA可能平行直线辅助线，然后再进行证明．
（2）要证明平面BDP⊥平面PBC，我们关键是在一个平面内找到一条与另一个平面垂直的直线，观察图形，在平面PBC中，BC可能与平面BDP垂直，故可以其为切入点进行证明．
（3）要求二面角的余弦，要先构造出二面角的平面角，然后利用解三角形的方法，求出这个平面角的余弦值，进而给出二面角的余弦值．
我们也可以构造空间直角坐标系，求出各点的坐标，进行求出相应直线的方向向量和平面的法向量，利用向量法进行求解．

解答：解法一：
证明：建立如图所示的坐标系，
（Ⅰ）A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），D（0，0，0），P（0，0，2）
E(0，

2

3

，

4

3

)

BE

=(-1，-

1

3

，

4

3

)，

DB

=(1，1，0)，

PA

=(1，0，-2)
设

PA

=x

BE

+y

DB

，
可得

PA

=-

3

2

BE

-

1

2

DB

因为PA?平面BDE，
所以PA∥平面BDE
（Ⅱ）因为

BC

=(-1，1，0)，

DB

=(1，1，0)
所以

BC

•

DB

=0BC⊥BD
因为PD⊥平面ABCD，所以BC⊥PD
所以BC⊥平面PBD，
所以平面BDP⊥平面PBC．
（Ⅲ）因为AD⊥DC，AD⊥PD
所以

DA

是平面PDC的法向量，

DA

=(1，0，0)，设平面PBC的法向量为

n

=(x，y，1)，
由

n

•

BC

=0，

n

•

PC

=0得：

n

=(1，1，1)，
设二面角B-PC-D为θ，则cosθ=

3

3

所以二面角B-PC-D余弦值为

3

3

．

解法二：
（Ⅰ）连接AC交BD于G，连接EG，
∵AB∥CD
∴

AG

GC

=

AB

CD

=

1

2

，由已知

PE

EC

=

1

2

，
得

AG

GC

=

PE

EC

，
∴PA∥EG，
∵EG?平面DEG，PA∉平面DEG
∴PA∥平面DEG．

（Ⅱ）由已知可得，BD=

2

，取CD的中点O，连接BO，ABOD为正方形，
OB=OC=1，BC=

2

，所以BD²+BC²=CD²由勾股定理的逆定理知BC⊥BD，
因为BC⊥PD，所以BC⊥平面BDP，所以平面BDP⊥平面PBC
（Ⅲ）BO⊥CD，BO⊥PD，所以BO⊥平面PDC，BO⊥PC
在平面PDC内作OM⊥PC交PC于点M，
所以PC⊥平面BOM
连接BM，BM⊥PC，∠BMO是二面角B-PC-D的平面角．
在Rt△BMO中，OB=1，OM=OCsin∠DCP=

2

2

，BM=

6

2

cos∠BMO=

OM

BM

=

2 2

6 2

=

3

3

，
所以二面角B-PC-D余弦值为

3

3

点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．