Question

如图，PD⊥平面ABC，AC=BC，D，M分别为AB，PA的中点．求证：
（1）PB∥面CDM； 
（2）AB⊥PC．

Answer 1

分析：（1）根据DM是△PAB的中位线得到PB∥DM，再利用线面平行判定定理即可证出PB∥面CDM； 
（2）由等腰三角形的“三线合一”证出CD⊥AB，结合PD⊥AB利用线面垂直判定定理，证出AB⊥面PCD，从而证出AB⊥PC．

解答：解：（1）∵△PAB中，D、M分别为AB、PA的中点，
∴DM是△PAB的中位线，可得PB∥DM，…（4分）
∵DM?面CDM，PB?面CDM，
∴PB∥面CDM．…（6分）
（2）∵PD⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴PD⊥AB，
又∵AC=BC，D为AB中点，∴CD⊥AB
∵PD、CD是平面PCD内的相交直线
∴AB⊥面PCD，
又∵PC?面PCD，∴AB⊥PC．…（12分）

点评：本题在三棱锥中证明线面平行和异面垂直，着重考查了线面平行判定定理、线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．