Question

2．已知数列{a_n}中，a₁=5，S_n+1=2S_n+n+5，（n∈N^*）
（1）证明：数列{a_n+1}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）将n换成n-1，两式相减，可得a_n+1=2a_n+1，由a₁=5，可得a₂=11，a₃=23．可得数列{a_n+1}是首项为6，公比为2的等比数列；
（2）运用等比数列的通项公式，求得a_n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式，即可得到．

解答 解：（1）证明：由S_n+1=2S_n+n+5，可得：
S_n=2S_n-1+n+4，（n＞1且n∈N^*），
两式相减可得，S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）+1，
即为a_n+1=2a_n+1，
即有a_n+1+1=2（a_n+1），
由a₁=5，可得a₂=11，a₃=23．
则数列{a_n+1}是首项为6，公比为2的等比数列；
（2）由（1）可得a_n+1=6•2^n-1=3•2ⁿ，
即有a_n=3•2ⁿ-1，
前n项和S_n=（6+12+…+3•2ⁿ）-n
=$\frac{6（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n
=3•2ⁿ⁺¹-6-n．

点评 本题考查数列的通项和求和之间的关系，考查等比数列的通项和求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题．