Question

3．已知函数f（x）=2x-$\frac{a}{x}$的定义域为（0，1]（a为实数）．
（1）当a=1时，求函数y=f（x）的值域；
（2）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围；
（3）求函数y=f（x）在区间（0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f（x）取最值时x的值．

Answer 1

分析 （1）将a的值代入函数解析式，利用函数的性质出函数的值域．
（2）求出导函数，令导函数大于等于0在定义域上恒成立，分离出a，构造函数，通过求函数的最小值，求出a的范围．
（3）通过对a的讨论，判断出函数在（0，1]上的单调性，求出函数的最值．

解答 解：（1）当a=1，则f（x）=2x-$\frac{1}{x}$，
则函数在（0，1]上为增函数，
∴f（x）≤f（1）=2-1=1，
即函数y=f（x）的值域为（-∞，1]；
（2）∵函数的导数f′（x）=2+$\frac{a}{{x}^{2}}$，
若函数y=f（x）在定义域上是减函数，
则f′（x）=2+$\frac{a}{{x}^{2}}$≤0，在定义域上恒成立，
即a≤-2x²，
而-2x²∈[-2，0）
∴a≤-2
（3）当a≥0时，函数y=f（x）在（0，1]上单调增，无最小值，
当x=1时取得最大值2-a；
由（2）得当a≤-2时，函数y=f（x）在（0，1]上单调减，无最大值，
当x=1时取得最小值2-a；
当-2＜a＜0时，函数y=f（x）在$（\;0.\;\frac{{\sqrt{-2a}}}{2}\;]$上单调减，在$[\frac{{\sqrt{-2a}}}{2}，1]$上单调增，无最大值，
当$x=\frac{{\sqrt{-2a}}}{2}$时取得最小值$2\sqrt{-2a}$．

点评 本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，求含参数的函数的性质问题时，一般要对参数讨论．