Question

14．已知椭圆E两个焦点的坐标分别为（-1，0），（1，0），并且经过点（1，$\frac{3}{2}$）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设与x轴不重合的直线l经过椭圆E的右焦点，且交椭圆E于A，B两点，已知点D（2，0）．
证明：直线DA，DB的斜率之积为定值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得c=1，再由椭圆的定义可得2a=4，结合a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；
（2）设直线AB为x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理，再由直线的斜率公式，化简整理，计算即可得到定值．

解答 解：（1）由题意可得c=1，
由椭圆的定义可得2a=$\sqrt{（1+1）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$+$\sqrt{0+（\frac{3}{2}）^{2}}$=4，
即a=2，b=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
即有椭圆E的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）证明：设直线AB为x=my+1，代入椭圆方程可得
（4+3m²）y²+6my-9=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
y₁+y₂=-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{9}{4+3{m}^{2}}$，
则x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2=$\frac{8}{4+3{m}^{2}}$，
x₁x₂=（my₁+1）（my₂+1）=m²y₁y₂+m（y₁+y₂）+1
=$\frac{4-12{m}^{2}}{4+3{m}^{2}}$，
则直线DA，DB的斜率之积为$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$
=$\frac{\frac{-9}{4+3{m}^{2}}}{\frac{4-12{m}^{2}}{4+3{m}^{2}}-\frac{16}{4+3{m}^{2}}+4}$=-$\frac{9}{4}$．
故直线DA，DB的斜率之积为定值．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查直线的斜率公式的运用，以及化简整理的能力，属于中档题．