Question

8．已知集合A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）]=x}．
（1）求证：A⊆B；
（2）若f（x）=ax²-1，A=B≠∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）、分A=∅和A≠∅的情况，然后根据条件证明即可．
（2）、理解A=B≠∅表示方程ax²-1=x与方程a（ax²-1）²-1=x有相同的根，从而化简求解．

解答 解：（1）证明：若A=∅，则A⊆B显然成立；
若A≠∅，设t∈A，则f（t）=t，f（f（t））=f（t）=t，
∴t∈B，故A⊆B．
（2）∵A≠∅，∴ax²-1=x有实根，
∴a≥-$\frac{1}{4}$．
∵a（ax²-1）²-1=x，
∴（ax²-x-1）（a²x²+ax-a+1）=0．
∵A=B，
∴a²x²+ax-a+1=0没有实根或实根是方程ax²-x-1=0的根．
若a²x²+ax-a+1=0没有实根，
则a＜$\frac{3}{4}$；
若a²x²+ax-a+1=0有实根且实根是方程ax²-x-1=0的根，
则由方程ax²-x-1=0得a²x²=ax+a，
代入a²x²+ax-a+1=0得2ax+1=0．
由此解得x=-$\frac{1}{2a}$，再代入得
$\frac{1}{4a}$+$\frac{1}{2a}$-1=0，
由此a=$\frac{3}{4}$，
故a的取值范围是[-$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]．

点评 本题考查对新概念的理解和运用的能力，同时考查了集合间的关系和方程根的相关知识，解题过程中体现了分类讨论的数学思想．