Question

已知三个正数a，b，c满足：2a≤b+c≤4a，-a≤b-c≤a，给出以下数值：①1；②e；③3；④π；⑤4
则其中可以作为

b

c

+

c

b

取值范围的是

 

（填上所有正确命题的序号）

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：计算题,作图题,不等式的解法及应用

分析：由题意，作出平面区域如图，

c

b

的几何意义时原点与阴影内的点的连线的斜率，从而求出

1

3

≤

c

b

≤3；再利用换元法化

b

c

+

c

b

=

1

t

+t，借助于基本不等式及对勾函数的性质求出

b

c

+

c

b

的取值范围，从而得到答案．

解答： 解：满足条件的点（b，c）构成的可行域如图所示，
由b+c=2a，b-c=a解得A（

3a

2

，

a

2

），
由b+c=2a，b-c=-a解得B（

a

2

，

3a

2

），
则k_OA≤

c

b

≤k_OB；
即

1

3

≤

c

b

≤3；
令t=

c

b

，则t∈[

1

3

，3]，
所以

b

c

+

c

b

=

1

t

+t≥2；
（当且仅当t=1时取等号）；
当t=

1

3

时，

1

t

+t=

10

3

；
当t=3时，

1

t

+t=

10

3

；
故

b

c

+

c

b

的取值范围是[2，

10

3

]，
故答案为：②③④．

点评：本题考查了线性规划的变形应用，同时考查了基本不等式，换元法，对勾函数的性质等，属于难题．