Question

设0≤x≤1，求函数f（x）=4^x+（1-2a）2^x+1+a²的最小值m．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：利用配方法化简f（x）=4^x+（1-2a）2^x+1+a²=（2^x）²+2（1-2a）2^x+a²=（2^x+1-2a）²-3a²+4a-1，从而讨论求函数的求最小值．

解答： 解：f（x）=4^x+（1-2a）2^x+1+a²
=（2^x）²+2（1-2a）2^x+a²
=（2^x+1-2a）²-3a²+4a-1，
①当1-2a≤-2，即a≥

3

2

时，
f（x）在x=1处有最小值，
m=f（1）=4+4（1-2a）+a²=a²-8a+8；
②当-2＜1-2a＜-1，即1＜a＜

3

2

时，
m=f_min（x）=-3a²+4a-1，
③当1-2a≥-1，即a≤1时，
m=f（0）=a²-4a+3．
综上所述，m=

a2-8a+8，a≥ 3 2 -3a2+4a-1，1＜a＜ 3 2 a2-4a+3，a≤1

．

点评：本题考查了配方法求函数的最值及分类讨论的数学思想，属于中档题．