Question

甲、乙两同学进行投篮比赛，每一简每人各投两次球，规定进球数多者该局获胜，进球数相同则为平局．已知甲每次投进的概率为

2

3

乙每次投进的概率为1/2，甲、乙之间的投篮相互独立．
（1）求甲、乙两同学进行一扃比赛的结果不是平局的概率；
（2）设3局比赛中，甲每局进两球获胜的局数为ξ．求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（1）设“一局比赛出现平局”为事件A，则P（A）=(

1

3

)2•(

1

2

)2+C₂¹•

2

3

•

1

3

•C₂¹•(

1

2

)2+(

2

3

)2•(

1

2

)2=

13

36

，再由对立事件的概率能求出一局比赛的结果不是平局的概率．
（2）设“在一局比赛中甲进两球获胜”为事件B．因为ξ可取0，1，2，3，所以P（ξ=0）=

8

27

，P（ξ=1）=

4

9

，P（ξ=2）=

2

9

，P（ξ=3）=

1

27

．由此能求出ξ的分布列和期望．

解答：解：（1）设“一局比赛出现平局”为事件A，
则P（A）=(

1

3

)2•(

1

2

)2+C₂¹•

2

3

•

1

3

•C₂¹•(

1

2

)2+(

2

3

)2•(

1

2

)2=

13

36

，
所以P（

.

A

）=1-P（A）=

23

36

，即一局比赛的结果不是平局的概率为

23

36

．
（2）设“在一局比赛中甲进两球获胜”为事件B．
因为ξ可取0，1，2，3，
所以P（ξ=0）=(

2

3

)3=

8

27

，P（ξ=1）=C₃¹•

1

3

•(

2

3

)2=

4

9

，
P（ξ=2）=C₃²•(

1

3

)2•

2

3

=

2

9

，P（ξ=3）=(

1

3

)3=

1

27

．
分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	8 27	4 9	2 9	1 27

Eξ=0×

8

27

+1×

4

9

+2×

2

9

+3×

1

27

=1．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，解（1）题时要注意对立事件的概率的运用，解（2）题时要注意n次独立试验恰好发生k次的概率公式的灵活运用．