Question

已知F₁、F₂是双曲线x2-

y2

15

=1的两个焦点，P是双曲线上的一点，若|PF₁|，|PF₂|，|F₁F₂|依次成公差为正数的等差数列，则△F₁PF₂的面积为

 

．

Answer 1

分析：本题首先要根据双曲线的定义写出|PF₁|，|PF₂|所满足的条件，再根据|PF₁|，|PF₂|，|F₁F₂|依次成公差为正数的等差数列写出另一个等式，两式组成方程组，解出三角形三边的长度，问题转化为已知三边求面积的问题，先用余弦定理求一个角，再求这个角的正弦值，做出面积．

解答：解：∵|PF₁|，|PF₂|，|F₁F₂|依次成公差为正数的等差数列，
∴2|PF₂|=|PF₁|+|F₁F₂|
∵|PF₂|-|PF₁|=2a，
∴|PF₂|=2（c-a）=6，
|PF₁|=2c-4a=4，
|F₁F₂|=8，
已知三角形的三条边的长度求△F₁PF₂的面积，
设边长是8的边所对的角是θ，
∵cosθ=

16+36-64

2×4×6

=-

1

4

，
又本角是三角形的内角，
∴sinθ=

15

4

，
∴△F₁PF₂的面积=

1

2

×4×6×

15

4

=3

15

，
故答案为：3

15

．

点评：本题是一个大型综合题，解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．