Question

在平面直角坐标系xoy中，动点M到定点F（0，）的距离比它到x轴的距离大，设动点M的轨迹是曲线E．
（1）求曲线E的轨迹方程；
（2）设直线l：x-y+2=0与曲线E相交于A、B两点，已知圆C经过原点O和A，B两点，求圆C的方程，并判断点M（0，4）关于直线l的对称点M′是否在圆C上．

Answer 1

解：（1）由已知，动点M到定点F（0，）的距离比它到x轴的距离大，
∴动点M到定点F（0，）的距离等于它到定直线的距离，…（2分）
∴动点M的轨迹曲线E是顶点在原点，焦点为F（0，）的抛物线和点（0，-）…（4分）
∴曲线E的轨迹方程为x²=y和y=-（x=0）．…（6分）
（2）由，解得或 …（8分）
即A（-1，1），B（2，4）
设过原点与点A、B的圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则，解得
∴圆C的方程为x²+y²-2x-4y=0，即（x-1）²+（y-2）²=5 …（10分）
由上可知，过点M（0，4）且与直线l垂直的直线MM′方程为：y=-x+4
解方程组，得，即线段MM′中点坐标为H（1，3）…（12分）
从而得点M（0，4）关于直线l的对称点M′的坐标为M′（2，2）
把M′（2，2）代入，可得（x-1）²+（y-2）²≠5
∴点M′（2，2）不在圆C上．…（14分）
分析：（1）由动点M到定点F（0，）的距离比它到x轴的距离大，可得动点M到定点F（0，）的距离等于它到定直线的距离，从而可得曲线E的轨迹方程；
（2）由，求得A，B的坐标，假设过原点与点A、B的圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，代入可得圆C的方程，求出点M（0，4）关于直线l的对称点M′的坐标，代入验证，即可得到结论．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，考查运算求解能力，推理论证能力