Question

设函数f（x）=ax²+（2b+1）x-a-2（a，b∈R）．
（1）若a=0，当x∈[

1

2

，1]时恒有f（x）≥0，求b的取值范围；
（2）若a≠0且b=-1，试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点，使得函数y=f（x）的图象永远不经过这两点；
（3）当a²+b²=1时，函数y=f（x）存在零点x₀，求x₀的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用,直线与圆

分析：（1）求出a=0的解析式，再一次函数的单调性，得到不等式，即可得到范围；
（2）（2）b=-1时，y=a（x²-1）-x-2，当x²=1时，无论a取任何值，y=-x-2为定值，y=f（x）图象一定过点（1，-3）和（-1，-1），运用函数的定义即可得到结论；
（3）存在x₀，ax₀²+（2b+1）x₀-a-2=0，即（x₀²-1）a+（2x₀）b+x₀-2=0，可看作点（a，b）的直线方程，而a²+b²=1可看作点（a，b）的圆，运用直线和圆有交点的条件，结合点到直线的距离公式，解不等式即可得到范围．

解答： 解：（1）当a=0时，f（x）=（2b+1）x-2，
当x∈[

1

2

，1]时恒有f（x）≥0，
则f（

1

2

）≥0且f（1）≥0，
即b-

3

2

≥0且2b-1≥0，
解得b≥

3

2

；

（2）b=-1时，y=a（x²-1）-x-2，
当x²=1时，无论a取任何值，y=-x-2为定值，
y=f（x）图象一定过点C（1，-3）和D（-1，-1）
由函数定义可知函数图象一定不过A（1，y₁）（y₁≠-3）和B（-1，y₂）（y₂≠-1）；

（3）存在x₀，ax₀²+（2b+1）x₀-a-2=0，
即（x₀²-1）a+（2x₀）b+x₀-2=0，可看作点（a，b）的直线方程，
而a²+b²=1可看作点（a，b）的圆，
直线与圆有交点，则圆心到直线的距离d=

|x0-2|

(x02-1)2+4x02

≤1，
即

|x0-2|

x02+1

≤1，即为x₀-2≤x₀²+1，且x₀-2≥-x₀²-1，
解得x₀∈（-∞，

-1- 5

2

]∪[

-1+ 5

2

，+∞）．

点评：本题考查不等式的恒成立问题转化为求函数的值域问题，主要考查一次函数的单调性，运用主元法和直线和圆有交点的条件是解题的关键．