Question

在△ABC中，向量

m

=（2cosB，1），向量

n

=（1-sinB，-1+sin2B），且满足|

m

+

n

|=|

m

-

n

|．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由两向量的坐标，根据已知等式列出关系式，整理求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（Ⅱ）由B的度数求出A+C的度数，表示出C，代入所求式子，利用和差化积公式化简，根据A的范围求出这个角的范围，利用余弦函数的值域即可确定出范围．

解答：解：（Ⅰ）∵向量

m

=（2cosB，1），向量

n

=（1-sinB，-1+sin2B），且满足|

m

+

n

|=|

m

-

n

|，
∴（2cosB+1-sinB）²+（sin2B）²=（2cosB-1+sinB）²+（2-sin2B）²，
整理得：cosB=

1

2

，
∵B为三角形内角，∴B=

π

3

；
（Ⅱ）∵B=

π

3

，∴A+C=

2π

3

，即C=

2π

3

-A，
∴sinA+sinC=sinA+sin（

2π

3

-A）=2sin

π

3

cos（A-

π

3

）=

3

cos（A-

π

3

），
∵0＜A＜

2π

3

，∴-

π

3

＜A-

π

3

＜

π

3

，
∴

1

2

＜cos（A-

π

3

）＜1，
则sinA+sinC取值范围是（

3

2

，

3

）．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．