Question

【题目】已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．
（1）证明：DN∥平面PMB；
（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；
（3）求点A到平面PMB的距离．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取PB中点Q，连接MQ、NQ，

因为M、N分别是棱AD、PC中点，

所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．

DN∥平面PMB

（2）解： PD⊥MB

又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，

所以MB⊥AD．

又AD∩PD=D，

所以MB⊥平面PAD. 平面PMB⊥平面PAD

（3）解：因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离．

过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB．

故DH是点D到平面PMB的距离. ．

∴点A到平面PMB的距离为 ．

【解析】（1）取PB中点Q，连接MQ、NQ，再加上QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；（2）易证PD⊥MB，又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，然后利用平面与平面垂直的判定定理进行证明；（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离，过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB，DH是点D到平面PMB的距离，从而求解．