【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,若函数
存在零点,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)若恒成立,求
的最小值.
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)
.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)函数存在零点问题,要研究函数的变化趋势,从函数解析式可看出时,
,因此函数
必有负值,求出其导数
,可对
其中的求导后确定其单调性及零点,从而确定
的正负得
的极小值,由极小值小于0可得结论;
(Ⅱ)恒成立,即
的最小值
,由导数的性质可得
有最小值,只是最小值点不能直接确定,可设为
,由
得
,这样最小值
中参数
可用
替换为
,由
得
,
,右边作为一个函数可由导数求得其最大值,即得
的最小值.
试题解析:
(Ⅰ)由题意,得.
所以
.
设,由于
在
上单调递增,且
,
当时,
,所以
在(0,1)上单调递减;
当时,
,所以
在
上单调递增.
当时,
.
因为函数存在零点,且
时,
,
所以,解得
,即实数
的取值范围为
.
(Ⅱ)由题意,得
因为,令
,得
.
设,由于
在
上单递增,
当时,
;当
时,
,
所以存在唯一,使得
,即
.
当时,
,所以
在
上单调递减;
当时,
,所以
在
上单调递增.
当时,
.
因为恒成立,
所以,即
.
.
设,
则
当时,
,所以
在
上单调递减;
当时,
,所以
在
上单调递增.
当时,
.
所以当,即
时,
.
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【题目】六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.已知在平行四边形ABCD中(如图1),有AC2+BD2=2(AB2+AD2),则在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中(如图2),AC12+BD12+CA12+DB12等于( )
A.2(AB2+AD2+AA12)
B.3(AB2+AD2+AA12)
C.4(AB2+AD2+AA12)
D.4(AB2+AD2)
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【题目】已知四棱锥P﹣ABCD,底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形,又PD⊥底ABCD,且PD=CD,点M、N分别是棱AD、PC的中点.
(1)证明:DN∥平面PMB;
(2)证明:平面PMB⊥平面PAD;
(3)求点A到平面PMB的距离.
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【题目】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,(a,b,c∈R)满足,对任意实数x,都有f(x)≥x,且当x∈(1,3)时,有f(x)≤ (x+2)2成立.
(1)证明:f(2)=2;
(2)若f(﹣2)=0,求f(x)的表达式;
(3)在(2)的条件下,设g(x)=f(x)﹣ x,x∈[0,+∞),若g(x)图象上的点都位于直线y=
的上方,求实数m的取值范围.
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【题目】已知椭圆,离心率为
,两焦点分别为
,过
的直线交椭圆
于
两点,且
的周长为8.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作圆
的切线
交椭圆
于
两点,求弦长
的最大值.
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【题目】已知函数f(x)=(x﹣2m)(x+m+3)(其中m<﹣1),g(x)=2x﹣2.
(1)若命题p:log2[g(x)]≥1是假命题.求x的取值范围;
(2)若命题q:x∈(﹣∞,3).命题r:x满足f(x)<0或g(x)<0为真命题.¬r是¬q的必要不充分条件,求m的取值范围.
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【题目】解答题
(1)设p:实数x满足(x﹣3a)(x﹣a)<0,其中a>0,q:实数x满足 ,若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围;
(2)设命题p:“函数 无极值”;命题q:“方程
表示焦点在y轴上的椭圆”,若p或q为真命题,p且q为假命题,求实数m的取值范围.
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