【题目】已知函数,
(
为自然对数的底数).
(Ⅰ)讨论函数的极值点的个数;
(Ⅱ)若函数的图象与函数
的图象有两个不同的交点,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)详见解析; (Ⅱ).
【解析】试题分析:(1)对函数 进行求导,根据基本不等式得出
的范围,按照
的最小值是否在定义域内分两类讨论,: ①当
,
在
上单调递增,所以
没有极值点;②当
,转化为方程
正数解的个数;(2) 函数
的图象与函数
的图象有两个不同的交点,转化为
由两个不同的根,通过参变分离,构造新的函数,求导判断单调性与最值,求出参数的范围.
试题解析:(Ⅰ),
∵,∴
,
①当,即
时,
对
恒成立,
在
上单调递增,所以
没有极值点;
②当,即
时,方程
有两个不等正数解
,
,
,
不妨设,则当
时,
,
为增函数;当
时,
,
为减函数;
时,
,
为增函数,所以
,
分别为
极大值点和极小值点,即
有两个极值点.
综上所述,当时,
没有极值点;当
时,
有两个极值点.
(Ⅱ)令,得
,即
,
∵,∴
,
令(
),
,
∵,∴
时,
,
为减函数;
时,
,
为增函数,∴
,
当时,
,当
时,
,
∵函数图象与函数
图象有两个不同交点,∴实数
的取值范围为
.
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【题目】下列说法中,正确的是 . (填序号)
①若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素,则k=1;
②在同一平面直角坐标系中,y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称;
③y=( )﹣x是增函数;
④定义在R上的奇函数f(x)有f(x)f(﹣x)≤0.
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【题目】已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=( )x .
(1)求当x>0时f(x)的解析式;
(2)画出函数f(x)在R上的图象;
(3)写出它的单调区间.
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【题目】已知两个命题p:x∈R,sinx+cosx>m恒成立,q:x∈R,y=(2m2﹣m)x为增函数.若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数m的取值范围.
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【题目】已知 与
为互相垂直的单位向量,
,
且
与
的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣2)
B.( ,+∞)
C.(﹣2, )
D.(﹣ )
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