【题目】设a>0, 是R上的偶函数.
(1)求a的值;
(2)证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数.
【答案】
(1)解:∵a>0, 是R上的偶函数.
∴f(﹣x)=f(x),即 + = ,
∴ +a2x= + ,
2x(a﹣ )﹣ (a﹣ )=0,
∴(a﹣ )(2x+ )=0,∵2x+ >0,a>0,
∴a﹣ =0,解得a=1,或a=﹣1(舍去),
∴a=1;
(2)证明:由(1)可知 ,
∴
∵x>0,
∴22x>1,
∴f'(x)>0,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增
【解析】(1)根据偶函数的性质f(﹣x)=f(x),代入即可求出a的值;(2)由(1)求出了f(x)的解析式,对f(x)进行求导,证明其导数大于0即可;
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法和函数奇偶性的性质的相关知识点,需要掌握单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较;在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;奇函数的加减仍为奇函数;奇数个奇函数的乘除认为奇函数;偶数个奇函数的乘除为偶函数;一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇才能正确解答此题.
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【题目】解答题
(1)设p:实数x满足(x﹣3a)(x﹣a)<0,其中a>0,q:实数x满足 ,若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围;
(2)设命题p:“函数 无极值”;命题q:“方程 表示焦点在y轴上的椭圆”,若p或q为真命题,p且q为假命题,求实数m的取值范围.
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【题目】已知圆经过、,圆心在直线上,过点,且斜率为的直线交圆相交于、两点.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)(i)请问是否为定值.若是,请求出该定值,若不是,请说明理由;
(ii)若为坐标原点,且,求直线的方程.
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【题目】已知点,点是圆上的任意一点,设为该圆的圆心,并且线段的垂直平分线与直线交于点.
(1)求点的轨迹方程;
(2)已知两点的坐标分别为, ,点是直线上的一个动点,且直线分别交(1)中点的轨迹于两点(四点互不相同),证明:直线恒过一定点,并求出该定点坐标.
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【题目】直角坐标系中,曲线与轴负半轴交于点,直线与相切于, 为上任意一点, 为在上的射影, 为的中点.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)轨迹与轴交于,点为曲线上的点,且, ,试探究三角形的面积是否为定值,若为定值,求出该值;若非定值,求其取值范围.
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【题目】共享单车入住泉州一周年以来,因其“绿色出行,低碳环保”的理念而备受人们的喜爱,值此周年之际,某机构为了了解共享单车使用者的年龄段,使用频率、满意度等三个方面的信息,在全市范围内发放份调查问卷,回收到有效问卷份,现从中随机抽取份,分别对使用者的年龄段、~岁使用者的使用频率、~岁使用者的满意度进行汇总,得到如下三个表格:
(Ⅰ)依据上述表格完成下列三个统计图形:
(Ⅱ)某城区现有常住人口万,请用样本估计总体的思想,试估计年龄在岁~岁之间,每月使用共享单车在~次的人数.
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