Question

【题目】已知点，点是圆上的任意一点，设为该圆的圆心，并且线段的垂直平分线与直线交于点.

（1）求点的轨迹方程；

（2）已知两点的坐标分别为， ，点是直线上的一个动点，且直线分别交（1）中点的轨迹于两点（四点互不相同），证明：直线恒过一定点，并求出该定点坐标.

Answer 1

【答案】（1）（2）直线恒过一定点.

【解析】试题分析：（1）利用垂直平分线的性质可得，再结合椭圆的定义，可得点的轨迹方程；（2）设直线的方程为与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系可得，利用两直线方程，及， 的交点的横坐标为，可得，结合前面两式，化简可得．则当时，恒成立，直线过定点．试题解析：（Ⅰ）依题意有， ，

且，

所以点的轨迹方程为： ．

（Ⅱ）依题意设直线的方程为： ，

代入椭圆方程得：

且： ①，②

∵直线： ，直线：

由题知， 的交点的横坐标为4，得：

，即

即： ，整理得：

③

将①②代入③得：

化简可得：

当变化时，上式恒成立，故可得：

所以直线恒过一定点.