【题目】函数f(x)是定义在R上的减函数,且f(x)>0恒成立,若对任意的x,y∈R,都有f(x﹣y)= ,
(1)求f(0)的值,并证明对任意的x,y∈R,f(x+y)=f(x)f(y);
(2)若f(﹣1)=3,解不等式 ≤9.
【答案】
(1)解:令x=0,y=0得f(0)= =1,
∴f(0)=1
令x=a+b,y=b,则x﹣y=a,
又∵f(x﹣y)= ,
∴f(a+b)=f(a)f(b)
∴f(x+y)=f(x)f(y)
(2)解:由(1)知f(x2)f(10)=f(x2+10),
∴ = =f(x2﹣7x+10),
又∵f(﹣1)=3,∴9=3×3=f(﹣1)×f(﹣1)=f(﹣2)
又∵ ≤9.
∴f(x2﹣7x+10)≤f(﹣2)
又∵f(x)在R上单调递减,
∴x2﹣7x+10≥﹣2
解得:x≤3或x≥4,即原不等式的解集为(﹣∞,3)∪(4,+∞)
【解析】(1)利用赋值法结合条件进行转化求解证明即可.(2)根据抽象函数的关系进行转化,结合函数单调性进行求解即可.
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【题目】下列各组函数中,表示同一函数的是( )
A.f(x)=x+1,g(x)= ﹣1
B.f(x)=|x|,g(x)=( )2
C.f(x)=2log2x,g(x)=log2x2
D.f(x)=x,g(x)=log22x
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【题目】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,(a,b,c∈R)满足,对任意实数x,都有f(x)≥x,且当x∈(1,3)时,有f(x)≤ (x+2)2成立.
(1)证明:f(2)=2;
(2)若f(﹣2)=0,求f(x)的表达式;
(3)在(2)的条件下,设g(x)=f(x)﹣ x,x∈[0,+∞),若g(x)图象上的点都位于直线y= 的上方,求实数m的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=(x﹣2m)(x+m+3)(其中m<﹣1),g(x)=2x﹣2.
(1)若命题p:log2[g(x)]≥1是假命题.求x的取值范围;
(2)若命题q:x∈(﹣∞,3).命题r:x满足f(x)<0或g(x)<0为真命题.¬r是¬q的必要不充分条件,求m的取值范围.
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【题目】如图所示是一个算法程序框图,在集合, 中随机抽取一个数值作为输入,则输出的的值落在区间内的概率为
A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4
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【题目】解答题
(1)设p:实数x满足(x﹣3a)(x﹣a)<0,其中a>0,q:实数x满足 ,若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围;
(2)设命题p:“函数 无极值”;命题q:“方程 表示焦点在y轴上的椭圆”,若p或q为真命题,p且q为假命题,求实数m的取值范围.
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【题目】如图,已知圆锥和圆柱的组合体(它们的底面重合),圆锥的底面圆半径为, 为圆锥的母线, 为圆柱的母线, 为下底面圆上的两点,且, , .
(1)求证:平面平面;
(2)求二面角的正弦值.
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【题目】已知点,点是圆上的任意一点,设为该圆的圆心,并且线段的垂直平分线与直线交于点.
(1)求点的轨迹方程;
(2)已知两点的坐标分别为, ,点是直线上的一个动点,且直线分别交(1)中点的轨迹于两点(四点互不相同),证明:直线恒过一定点,并求出该定点坐标.
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