Question

【题目】如图，已知圆锥和圆柱的组合体（它们的底面重合），圆锥的底面圆半径为， 为圆锥的母线， 为圆柱的母线， 为下底面圆上的两点，且， ， .

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）先根据平几知识计算得,再根据圆柱性质得平面，即有，最后根据线面垂直判定定理得平面,即得平面平面；（2）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系求解

试题解析：解：（1）依题易知，圆锥的高为，又圆柱的高为，

所以，

因为，所以，

连接，易知三点共线， ，

所以，

所以，

解得，又因为，圆的直径为10，圆心在内，

所以易知，所以．

因为平面，所以，因为，所以平面．

又因为平面，所以平面平面．

（2）如图，以为原点， 、所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．

则．

所以，

设平面的法向理为，

所以，令，则．

可取平面的一个法向量为，

所以，

所以二面角的正弦值为．