Question

【题目】已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a，b，c∈R）满足，对任意实数x，都有f（x）≥x，且当x∈（1，3）时，有f（x）≤ （x+2）2成立．
（1）证明：f（2）=2；
（2）若f（﹣2）=0，求f（x）的表达式；
（3）在（2）的条件下，设g（x）=f（x）﹣ x，x∈[0，+∞），若g（x）图象上的点都位于直线y= 的上方，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由条件知：f（2）=4a+2b+c≥2成立，

又另取x=2时， 成立，

∴f（2）=2

（2）解：∵ ，∴ ，4a+c=1，

又f（x）≥x恒成立，即ax2+（b﹣1）x+c≥0在R上恒成立，

∴a＞0且△=（b﹣1）2﹣4ac≤0， ，

解得： ，

所以

（3）解：由题意可得：g（x）= + 在[0，+∞）时必须恒成立，即x2+4（1﹣m）x+2＞0在[0，+∞）时恒成立，

则有以下两种情况：

①△＜0，即16（1﹣m）2﹣8＜0，解得

② ，解得： ，

综上所述：

【解析】（1）由已知f（2）≥2成立，又由f（x））≤ （x+2）2成立，得f（2）≤ =2，根据两种情况可得f（2）值；f（﹣2）=0，由上述证明知f（2）=2，f（x）的表达式中有三个未知数，由两函数值只能得出两个方程，再对任意实数x，都有f（x）≥x，这一恒成立的关系得到 0，由此可以得到a= ，将此三方程联立可解出三个参数的值，求出f（x）的表达式；（3）g（x）= + 在[0，+∞）时必须恒成立，即x2+4（1﹣m）x+2＞0在x∈[0，+∞）恒成立．转化为二次函数图象与x轴在x∈[0，+∞）无交点的问题，由于g（x）的单调性不确定，故本题要分两种情况讨论，一种是对称轴在y轴右侧，此时需要判别式小于0，一类是判别式大于0，对称轴小于0，且x=0处的函数值大于等于0，转化出相应的不等式求解．