Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若是函数是极值点，1是函数零点，求实数，的值和函数的单调区间；

（Ⅱ） 若对任意，都存在（为自然对数的底数），使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】 试题分析: （1）对求导, ,利用已知条件x=2是函数极值点,1是函数零点,可得a,b的值,进而得到的单调区间; （2）构造函数,由b的范围及其范围内的任意性将问题转化为存在,使得,对求导并构造函数,利用分类讨论的方法研究两种情况下的函数正负,最终证明当a>1时,对任意,都存在,使得成立.

试题解析:解：（Ⅰ）.

∵是函数的极值点，∴.

又∵1是函数的零点，∴.

联立，解得：，∴，

，.

∵在，，∴在（0,2）上单调递减；又在，，

∴在上单调递增.

（Ⅱ）令，，则为关于的一次函数且为增函数，

∴要使成立，只需在有解.

令：，只需存在，使得.

由于，，

令：，∴，

∴在递增，∴.

（ⅰ）当时，，即，

∴在是单调递增，∴，不合题意.

（ⅱ）当时，，

若，则上单调递减，

∴存在，使得，符合题意.

若，则，即，

∴存在使得.

∴在上成立，∴在上单调递减，

∴存在使得成立.

综上所述：当时，对任意，都存在使得.