Question

【题目】已知函数

（1）求函数的最大值；

（2）设 其中，证明: ＜1．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）证明过程详见解析.

【解析】试题分析：（1）先求导,从而求出增区间为,减区间为,故；（2）由（1）知,所以当时, 成立，当时, ,令,所以,所以成立.

试题解析：

（1）f(x)＝－xex．

当x∈(－∞，0)时，f(x)＞0，f(x)单调递增；

当x∈(0，＋∞)时，f(x)＜0，f(x)单调递减．

所以f(x)的最大值为f(0)＝0．

（2）由（Ⅰ）知，当x＞0时，f(x)＜0，g(x)＜0＜1．

当－1＜x＜0时，g(x)＜1等价于设f(x)＞x．

设h(x)＝f(x)－x，则h(x)＝－xex－1．

当x∈(－1，0)时，0＜－x＜1，0＜ex＜1，则0＜－xex＜1，

从而当x∈(－1，0)时，h(x)＜0，h(x)在(－1，0]单调递减．

当－1＜x＜0时，h(x)＞h(0)＝0，即g(x)＜1．

综上，总有g(x)＜1．