Question

【题目】如图，在四棱锥中，四边形为梯形， ，且， 是边长为2的正三角形，顶点在上的射影为点，且， ， .

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）　取的中点为，连接利用直角三角形的性质，可分别求出的值，由勾股定理得．可得面，可证平面平面；（2）以所在直线为轴， 所在直线为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出两个半平面的法向量，利用法向量的夹角与二面角的夹角的关系，可求二面角的余弦值．

试题解析：（Ⅰ）证明：由顶点在上投影为点，可知， ．

取的中点为，连结， ．

在中， ， ，所以．

在中， ， ，所以．

所以， ，即．

∵

∴面．

又面，所以面面．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ，且

所以 面，且面．以所在直线为轴， 所在直线为轴，点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

， ， ，

设平面， 的法向量分别为，则

，则，

，则

，

，

所以二面角的余弦值为．