Question

【题目】已知函数f（x）= +x．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数；
（3）求函数f（x）在区间[1，3]的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：已知函数f（x）= +x则函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）

函数为奇函数

理由：对任意的x∈{x|x≠0，都有 ，故函数f（x）为定义域上的奇函数

（2）证明：对区间（1，+∞）上的任意两个数x1、x2，且x1＜x2，则 ．

由于x1、x2∈（1，+∞）且x1＜x2，则x1x2＞1，x1x2﹣1＞0，x1﹣x2＜0．

从而f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），

因此函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数

（3）解：有（2）知，函数f（x）在区间[1，3]上为增函数，故fmin（x）=f（1）=2，
【解析】（1）（2）分别利用函数的奇偶性定义和单调性定义进行判断证明；（3）利用（2）的结论，得到函数区间上的单调性，进一步求得最值．
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义和函数的奇偶性的相关知识点，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称才能正确解答此题．